下学期 4．6 两角和与差的正弦、余弦、正切2_高一数学教案

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下学期 4．6 两角和与差的正弦、余弦、正切2

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下学期 4．6 两角和与差的正弦、余弦、正切2

4．6两角和与差的正弦、余弦、正切（第二课时）

（一）教学具准备

　　投影仪

（二）教学目标

　　1．掌握利用得到的两角和与差的正弦公式．

　　2．运用公式进行三角式的求值、化简及证明．

（三）教学过程

1．已知两角，我们可以利用的三角函数去计算复合角的余弦，那么，我们能否用的三角函数去表达复合角的正弦呢？本节课将研究这一问题．

2．探索研究

（1）请一位同学在黑板上写出，的展开式．

　　．

　　由于公式中的是任意实数，故我们对实施特值代换后并不影响等号成立，为此我们曾令，得到，

　　两个熟悉的诱导公式，请同学们尝试一下，能否在中对选取特殊实数代换，使

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诱变成呢？或者说能否把改成用余弦函数来表示呢？请同学回答．

　　生：可以，因为

　　该同学的思路非常科学，这样就把新问题问题化归为老问题：．

　　事实上：（视“ ”为）

　　这样，我们便得到公式．

　　简化为．

　　由于公式中的仍然是一切实数，请同学们再想一下，如何获得的展开式呢？请同学回答．

　　生：只要在公式中用代替，就可得到：

　　即

　　师：由此得到两个公式：

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　　对于公式还可以这样来推导：

说明：

　　（1）上述四个公式，虽然形式、结构不同，但它们本质是相同的，因为它们同出一脉：

　　这样我们只要牢固掌握“中心”公式的由来及表达方式，就掌握了其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会．

　　（2）、是用的单角函数表达复合角的正、余弦．反之，我们不得不注意，作为公式的逆用，我们也可以用复合角的三角函数来表达单角三角函数．诸如：，，及

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四种表达式，实质上是方程思想的体现：

　　由得：

　　　　　①

　　由得

　　　　　　②

　　由，得：

　　　　　　③

　　由得：

　　　　　　④

　　等式①、②、③、④在求值、证明恒等式中无疑作用是十分重大的．

（2）例题分析

【例1】不查表，求，的值．

　　解：

　　说明：我们也可以用系统来做：

【例2】已知，

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，，，求，．

　　分析：观察公式和本题的条件，必须先算出，

　　解：由，得

　　又由，得

　　∴

【例3】不查表求值：

（1）；

（2）．

解：（1）

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（2）

练习（投影）

　　（1），，则．

　　（2）在△ 中，若，则△ 是___________．

参考答案：

（1）∴

　　∴

（2）由，

　　∴

　　∴ ，为钝角，即△

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是钝角三角形．

【例4】求证：．

　　分析：我们从角入手来分析，易见左边有复角（即两角和与差）右边全是单角，所以思路明确，就是要把复角变单角．

　　证明：

　　左边

　　右 ∴原式成立

　　如果我们本着逆用公式来看待本题，那么还可这样想：

　　由

　　令，则

　　 ①

　　至于

我们可这样分析：

　　∵

　　令得

　　同理

　　∴①可进一步改写为：

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　　∴ ……②

　　又∵

　　 ……③

由②、③得

　　本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正切函数，故可考虑从右边入手用化弦法，请同学们自己把上面过程反过来，从右边推出左边．

【例5】求证：

　　师：本题我们可以从角的形式来分析，左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角（即利用和角公式）；如果从左边证右边则须配一个角，所以本题起码有两种证法．

　　证法1：右边

　　左边

　　∴原式成立

　　师：另一种证法根据刚才的分析要配出角，怎样配？大家仔细观察证法一就不难发现了．

　　证法2：（学生板书）

　　左边

　　　　右边 ∴原式成立

3．演练反馈（投影）

（1）化简

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（2）已知，则的值（）

　　A．不确定，可在［0、1］内取值　　B．不确定，可在［－1、1］中取值

　　C．确定，等于1　　　　　　　　　 D．确定，等于1或－1

参考答案：

（1）原式

（2）C

4．总结提炼

　　（1）利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧，如：，，．在三角形中，，等变换技巧，同学们应十分熟悉．

　　（2）本节课的例5，代表着一类重要题型，同学们要学习它的凑角方法，一般地，其中．

　　（3）在恒等式中，实施特值代换，是一类重要的数学方法——母函数法，这种方法在数学的其他学科中，均有用武之地。它反映的是特殊与一般的辨证统一关系．

（四）板书设计

　　课题：两角和与差的正弦

1．公式推导

　　①

　　＝……

　　得到公式………

　　把公式中

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换成得公式………

2．公式的结构特点

　　用单角函数表示复角函数

　　右边中两个积的函数名称不同

　　 ……运算符号同左边括号

　　中的运算符号一致（区别于、）

3．折、凑角技巧

例1

例2

例3

例4

例5

　　演练反馈

　　总结提炼

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