下学期>>4.3 任意角的三角函数

下学期>>4.3 任意角的三角函数

任意角的三角函数

教学目标：

　　1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．

　　2．掌握已知角 终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）

教学重点：

　　任意角的三角函数的定义．

教学难点：

　　任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．

教学用具：

　　直尺、圆规、投影仪．

教学步骤：

1．设置情境

　　角的范围已经推广，那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题．

2．探索研究

（1）复习回忆锐角三角函数

　　我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值，定义了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角 是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．

（2）任意角的三角函数定义

　　如图1，设 是任意角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，当角 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为 ，则 ．

定义：①比值

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叫做 的正弦，记作 ，即 ．

　　②比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ．

图1

　　③比值 叫做 的正切，记作 ，即 ．

　　同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件

提问：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢？

　　利用三角形相似的知识，可以得出对于角 ，这三个比值的大小与 点在角

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的终边上的位置无关，只与角 的大小有关．

　　请同学们观察当 时， 的终边在 轴上，此时终边上任一点 的横坐标 都等于0，所以 无意义，除此之外，对于确定的角 ，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．

　　④比值 叫做 的余切，记作 ，则 ．

　　⑤比值 叫做 的正割，记作 ，则 ．

　　⑥比值 叫做

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的余割，记作 ，则 ．

可以看出：当 时， 的终边在 轴上，这时 的纵坐标 都等于0，所以 与 的值不存在，当 时， 的值不存在，除此之外，对于确定的角 ，比值 ， ， 分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．

（3）三角函数是以实数为自变量的函数

　　对于确定的角 ，如图2所示， ，

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， 分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．

　　即：实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）

（4）三角函数的一种几何表示

　　利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3．

图3

　　设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角 的终边（当 为第一、四象限时）或其反向延长线（当 为第二、三象限时）相交于 ，当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 ，

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都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：

　　这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．当角 的终边在 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角 的终边在 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．

（5）例题讲评

　　【例1】已知角 的终边经过 ，求 的六个三角函数值（如图4）．

解：∵    

　　∴

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　　提问：若将 改为 ，如何求 的六个三角函数值呢？（分 ， 两种情形讨论）

【例2】求下列各角的六个三角函数值

　　（1） ；（2） ；（3） ．

解：（1）∵当 时，

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，

　　∴ ， ，

 不存在， ， 不存在

　　（2）∵当

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