课例二面角的免费教学案下载与评述

（学生思考）

师：斜线与平面所成角的大小是怎样度量？

生：我知道，斜线和斜线在平面上的射影所成角的大小规定为斜线与平面所成角的大小。

师：对，即把斜线与平面所成角转化为平面几何中的线和线所成角。下面请同学们讨论二面角的度量方法。

（学生独立思考，动手摆弄二面角模具，并与同桌、前后桌同学之间共同讨论。）

师：谁来谈自己的想法。

（学生讲述各自的想法，老师板书。）

生：分别在二个半平面上，过棱上一点O作OA⊥a、OB⊥a，把∠AOB大小规定为二面角大小（图1）。

 生：在一个半平面上取一点A，作AB垂直另一个半平面，B为垂足，过B作OB垂直棱，O为垂足，连OA，把∠AOB大小规定为二面角大小（图2）。

生：过二面角棱上一点0作平面垂直棱，分别交两个面OA，OB，把∠AOB大小规定为二面角大小（图3）。

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师：以上几位同学得出∠AOB有什么共同点？

师生一起归纳小结：（1）两条射线OA，OB分别在α，β上，且O在棱a上。（2）OA⊥a，OB⊥a。

师：对于同一个二面角以上三种作法得出的∠AOB大小相同吗？

生：相同。

师：我也有一种想法，请同学们讨论一下。这样行不行。

放出幻灯并讲述想法：如图（4）若∠AOB=30°∠BOD=45°，把∠AOB的大小规定为二面角α--CD--β的大小。

生：不行，当两个面合拢的时候，∠AOB=15°、但二面角为0°，不合常规。

师：如图（5）若“∠BOD=45°”改为“∠BOD=30°”结果又怎样？

生：也不行，当两个平面转“平”的时候，二面角为180°，而∠AOB=60°不合常规。

师：我们把图（1）、（2）、（3）中∠AOB称为二面角α--AB--β的平面角。∠AOB大小就是二面角大小。这样规定，合情合理。同学们提出的图（1）、（2）、（3）是作二面角的平面角常用三种方法。一个二面角中它的平面角是否只有一个？

生：有无数个，但它们大小相等。

[评：学生在参与探讨度量二面角大小方法过程中，生生之间、师生之间互相交流，共同讨论，变单向传递为多向交流，这样既发挥了学生主体作用，又有利于学生协作意识形成和创新能力培养。]

师：（放出幻灯）

在正方体----中（如图6）

求二面角--------大小，（2）求二面角--------大小，（3）求二面角--------

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的正切值，（4）若为中点，作出二面角--------的平面角。（师生一起讨论完成）

（过程略）

[评：从一道题出发通过一题多变，进行变式练习，不仅是使学生掌握知识、形成技能的有效手段，更有利于学生形成完整的知识结构，培养学生思维的灵活性]

如图7：山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道，它和坡脚的水平线的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后，升高了多少米？

图7

解：已知=100米，设垂直于过的水平平面，垂足为，线段的长度就是所求的高度。在平面内，过点作，垂足是，连结。

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平面，

。

因此，就是坡面和水平平面所成的二面角的平面角，=60°。由此得=sin60°=sin30°sin60°=100sin30°sin60°=

答：沿直道前进100米，升高约43。3米。

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