不等式的证明（二）

　　设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法．

　　（四）布置作业

　　1．课本作业：P17   7、8。

　　2，思考题：已知 ，求证

　　3．研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）

　　设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想．研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力．

　　（五）课后点评

　　1．教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动．

　　2．教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用．例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用．

　　作业答案

　　思考题：证明：

　　因为 ，所以当 时， ，故

　　又因为 ，所以

　　当 时， ，故 ，即 ，所以

　　当 时， .故 ，即 ，所以

　　综上所述，

　　研究性题：设两地距离为 ，船在静水中的速度为 ，水流速度为 （ ），则

　　所以船在流水中来回行驶一次的时间比在静水中来回行驶一次的时间长．

第三课时

教学目标

　　1.掌握综合法证明不等式；

　　2.熟练掌握已学的重要不等式；

　　3.增强学生的逻辑推理能力.

教学重点  综合法

教学难点  不等式性质的综合运用

教学方法  启发引导式

教学活动

　　（－）导入新课

　　（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评．

　　（学生活动）完成练习．

　　［字幕］

　　1．证明 （ ）．

　　2．比较 与 的大小，并证明你的结论．

　　1．证法一：由 ，所以

　　方法二：由 ，知 ，即 ，所以

　　2．答：

　　证法一：由 ，所以

　　证法二：由 知 ，所以

　　［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们在6．1节和6．2节已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容．（板书课题）

　　设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式．提出学习任务．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索

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，建立新知】

　　（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明 ，并点评证法的数学原理，

　　（学生活动）学生研究证明不等式．

　　 [问题]证明

　　（证明：因为 ，所以 ，即 ．）

　　[点评]

　　①利用某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．

　　②综合法证题方法：由已知推出结论．这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质．

　　设计意图：探索解决问题的新方法，建立新知识，构建用综合法证明不等式的方法原理．

　　【例题示范、学会应用】

　　（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用综合法证明不等式，并点评用综合法证明不等式必须注意的问题．

　　（学生活动）学生在教师诱导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．

　　例1　已知 ，求证

　　［分析］由于不等式左边是和的形式，右边为常数，可用平均值定理作为已知不等式推证．

　　证明：因为 ，则 ，所以 ．故

 　　［点评］此题的证明方法是综合法，在证明过程中，把平均值定理作为已知不等式，而平均值定理是有条件限制的，所以要用重要不等式作为已知不等式，注意要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征．

　　例2  已知a，b，c是不全相等的正数，求证

　　[分析]由不等式右边为6abc是积的形式，左边是和的形式，可知由 出发可证．

　　证明一（见课本）

　　证明二：　

　　　　　　

　　　　　　

　　因为a，b，c是不全相等的正数．所以 ， ， ，且三式不能全取“=”号．

　　所以                  

　　即     

　　[点评]

　　①综合法的思维特点是：由已知推出结论．用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：

； （ ）； （ ）； （a，b同号）， （ ）。

　　②此例中条件a，b，c是不全相等的正数，所以最后所证不等式取不到等号．

　　③由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出

的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明．

　　我们在证明不等式时，选择方法要适当，不要对某种方法抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法．

　　设计意图：巩固用综合法证明不等式的知识，掌握用综合法证明不等式中，常用的重要不等式，理解综合法证明不等式与比较法证明不等式的内在联系．

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