数学教学设计－一元二次方程根与系数关系

（三）德育渗透点：进一步使学生深刻体会转化以及方程的思想方法、渗透数形结合的思想．

二、教学重点、难点

1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．

2．教学难点：找等量关系．列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要检验，以确定适合题意的解．例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等．

三、教学步骤

（一）明确目标

初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决，但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，这就是我们本节课要研究的一元二次方程的应用——有关面积和体积方面的实际问题．

（二）整体感知

本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性．

从列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意，作出正确的答案．列出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；本节课的内容是关于面积、体积的实际问题．

通过本节课学习，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，渗透转化的思想、方程的思想及数形结合的思想．

（三）重点、难点的学习和目标完成过程

1．复习提问

（1）列方程解应用题的步骤？

（2）长方形的周长、面积？长方体的体积？

2．例1  现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm²的无盖长方体型的纸盒？

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解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为（19-2x）cm，宽为（15-2x）cm，

据题意：（19-2x）（15-2x）=77．

整理后，得x²-17x+52=0，

解得x₁=4，x₂=13．

∴  当x=13时，15-2x=-11（不合题意，舍去．）

答：截取的小正方形边长应为4cm，可制成符合要求的无盖盒子．

本题教师启发、引导、学生回答，注意以下几个问题．

（1）因为要做成底面积为77cm²的无盖的长方体形的盒子，如果底面的长和宽分别能用含未知数的代数式表示，这样依据长×宽=长方形面积，便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．

（2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验，本题如果截取的小正方形边长为13时，得到底面的宽为-11，则不合题意，所以x=13舍去．（3）本题是一道典型的实际生活的问题，在学习本章之前，这个问题无法解决，但学了一元二次方程的知识之后，这个问题便可以解决．使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识．

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