相似三角形的性质教学片断

    ∴∠BAC=∠B1A1C1
    又∵AD是∠BAC 的角平分线,A1D1是∠B1A1C1的角平分线
    ∴∠BAD= ∠BAC,∠B1A1D1= ∠B1A1C1
    ∴∠BAD=∠B1A1D1
    ∴ΔABD∽ΔA1B1D1(AA)
    ∴ = =k
    师:没有写清楚的同学请自己改正,这个问题解决了,对应中线的比呢?
    如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1,AD是BC边上的中线,A1D1是B1C1边上的中线,且 =k,试说明: = =k。
    生:一样的证明。
    师:是一样吗?再仔细看看。
    生众:有一点不一样,就是要利用 (S顶上的字母r表示成比例的意思,以后同)来证ΔABD∽ΔA1B1D1( )。
    师:是的,要细心一点,请大家写出证明过程。
    生:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,
    ∴∠B=∠B1
    又∵AD是BC边上的中线,A1D1是B1C1边上的中线
    ∴BC=2BD,B1C1=2B1D1
    ∴
    ∴
    ∴ΔABD∽ΔA1B1D1( )
    ∴ = =k
    师:谁来总结一下这个小结论?
    生:相似三角形的对应中线的比等于相似比。
    师:你们说的是一切对应线段的比等于相似比,这几个也是特殊的,我也要难一难你们,更一般地,能证明下面的结论吗?
    如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1, D是BC边上的点,且BD= BC;D1是B1C1边上的点,且B1D1= B1C1,且 =k,试说明: = =k。
    生:这个简单,把上面证明中
    “又∵AD是BC边上的中线,A1D1是B1C1边上的中线
    ∴BC=2BD,B1C1=2B1D1
    ∴ ”
    改为:∵BD= BC,B1D1= B1C1
    ∴BC=3BD,B1C1=3B1D1
    ∴
    师:呵呵!你们很会偷懒的,不过这里偷懒无罪,积极动脑该表扬,这也是积极动脑的表现,前面我们提到跳步的现象这里还不存在,这点我很满意,大家的态度是很认真的,在这里我更满意的是这里的“偷懒”行为。因为前面几位同学的步骤实在是太繁,我不想提出来,是希望激出某类“偷懒”的行为,现在成功了。主要是通过代换将式子化为我们的需要的式子。由衷的为你们的自发性成功道贺。不过别得意,好戏还在后头,我还要再难一难你们,接招:
    把A、A1分别沿AB、A1B1移动到E、E1的位置,如下有:
    如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1, D是BC边上的点,且BD= BC;D1是B1C1边上的点,且B1D1= B1C1;E点在AB上,且AE= AB;点E1在A1B1上,且A1E1= A1B1,有=k,试说明: = =k。
    生:简单,只需要改动前面证明过程中比例式的左半部分就可以了。按您这么变,还可以更随意一点的。
    师:是的,看来你们是能够说服我的了,因为这个定理是邓亚平先说出来的,尽管其它同学也在下面小声的说,我们把这个结论命名为……
    学生(兴奋地)接话:邓亚平定理。(相似三角形一切对应线段的比等于相似比。)
    师:好的,除了相似三角形外,更一般的……
    生:相似形的一切对应线段的比等于相似比。
    师:好的。同学们的总结的好处再于,我们把众多的结论归结为一个定理,不但使我们记忆负担减轻了(现在只需要记一个定理),更重要的是使我们的……
    生接话:认识更深刻了。也利于这个知识的应用。
    师:还有我们是站在一个系统的高度认识问题的。还有什么问题吗?
   

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; 生:面积的比与相似比有何关系呢?
    师:我也正想问呢,你们觉得呢?
    生:(有的说等于相似比,有的说等于相似比的平方)
    先看一个具体的例子:
    如图,ΔABC与ΔA1B1C1相似比为1∶2,后者的面积为前者的多少倍?
    生:后者是前者的4倍。
    师:如果ΔABC与ΔA2B2C2相似比为1∶3呢?
    生:后者的面积是ΔABC的面积的9倍。
    师:根据这个特例,我们可以得出我们的猜想……
    生:相似三角形面积的比等于相似比的平方。
    师:如何证明呢?
    如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1,AD是BC边上的高,A1D1是B1C1边上的高,且 =k,请大家证: =k2
    师:请大家思考几分钟。
    李伟上黑板做(其余同学在下面做):
    李伟:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,
    ∴ = = =k(相似三角形一切对应线段的比等于相似比)
    又∵AD是BC边上的高,A1D1是B1C1边上的高
    ∴ = = ·=k·k=k2
    师:很好,刚学会定理就用,要这样。我们还可以这样来理解,三角形的面积等于底与相应的高的积的一半,两个三角形的底边扩大与缩小相同的倍数,其高也相应的扩大与缩小相同的倍数,其乘积将扩大与缩小相同的倍数的平方。
    师:你们的猜想是正确的,请体会一下这个结论。
    口答:两个相似三角形的相似比为2∶3,则面积比为__________。(生:4∶9)
    两个相似三角形的面积比为25∶16,则相似比为_________。(生:5∶4)
    师:如何来的呢?
    生:已知面积比求相似比,把面积比开方就可以了。
    师:用式子表示一下:由 =( )2,
    有: =
    口答:两个相似三角形的面积比为4∶3,则相似比为__。(生:2∶ )
    师:我们四川的大文学家苏轼,现打算在乐山的新广场,按1∶5的相似比,用大理石为其塑造一座雕像,如果苏轼的体积为0.06米3,则需要多少立方米的大理石?
    生:这是体积比。
    师:是的,请大家想一想,体积比与相似比有何关系呢?
    生:……
    部分生:应该是相似比的立方。
    师:大家再想想,最好能说出为什么?
    生:长、宽、高都扩大与缩小k(相似比)倍,其体积将三者乘起来,当然该扩大与缩小相似比的k3倍了。
    师:这个想法是正确的。来看最简单的正方体:
    有 = =k3。
    师:现在你能计算出需要多少立方米的大理石吗?

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