数学教学设计－两圆的公切线

数学教案－两圆的公切线

第一课时 两圆的公切线（一）

　　教学目标：

　　（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；

　　（2）培养学生的归纳、总结能力；

　　（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．

　　教学重点：

　　理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．

　　教学难点：

　　两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．

　　教学活动设计

　　（一）实际问题（引入）

　　很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）

　　（二）两圆的公切线概念

　　1、概念：

　　教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：

　　和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．

　

　　(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．

　　(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．

　　(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．

　　2、理解概念：

　　(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?

　　(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?

　　(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．

　　(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．

　　（三）两圆的位置与公切线条数的关系

　　组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材P143练习第2题表．

　　（四）应用、反思、总结

　　例1、已知：⊙O₁、⊙O₂的半径分别为2cm和7cm，圆心距O₁O₂=13cm，AB是⊙O₁、⊙O₂的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．

　　分析：首先想到切线性质，故连结O₁A、O₂B，得直角梯形AO₁O₂B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）

　　解：连结O₁A、O₂B，作O₁A⊥AB，O₂B⊥AB．

　　过 O₁作O₁C⊥O₂B，垂足为C，则四边形O₁ABC为矩形，

　　于是有

　　O₁C⊥C O₂，O₁C= AB，O₁A=CB．

　　在Rt△O₂CO₁和．

　　O₁O₂=13，O₂C= O₂B- O₁A=5

　　AB= O₁C= (cm)．

　　反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．

　　 例2*、如图，已知⊙O₁、⊙O₂外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．

 

　　分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，因为AB是两圆的公切线，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP．因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解．

　　解：过点P作两圆的公切线CD

　　∵ AB是⊙O₁和⊙O₂的切线，A、B为切点

　　∴∠CPA=∠BAP　　∠CPB=∠ABP

　　又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

　　∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°

　　∴∠CPA+∠CPB=90°　　即∠APB=90°

　　在 Rt△APB中，AB²=AP²+BP²

　　

　　说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．

　　（五）巩固练习

　　1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成(　)

　　(A)直角三角形　(B)等腰三角形　(C)等边三角形　(D)以上答案都不对．

　　此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)

　　2、外公切线是指

　　(A)和两圆都祖切的直线　(B

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)两切点间的距离 

　　(C)两圆在公切线两旁时的公切线　(D)两圆在公切线同旁时的公切线

　　直接运用外公切线的定义判断．答案：(D)

　　3、教材P141练习（略）

　　（六）小结（组织学生进行）

　　知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；

　　能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；

　　思想：“转化”思想．

　　（七）作业：P151习题10，11．
第二课时 两圆的公切线（二）

　　教学目标：

　　（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；

　　（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；

　　（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．

　　教学重点：

　　两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．

　　教学难点：

　　两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．

　　教学活动设计

　　（一）复习基础知识

　　（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．

　　（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）

　　（二）应用、反思

　　例1、（教材例2）已知：⊙O₁和⊙O₂的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，AB是⊙O₁和⊙O₂的一条内公切线，切点分别是A，B．

　　求：公切线的长AB。

　　组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．

 

　　解：连结O

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