组合
组合
个元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合.如前面思考题:6个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票,是从6个元素中取出2个元素的一个组合.
组合数:从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数,称之,用符号 表示,如从6个元素中取出2个元素的组合数为 .
[评述]区分一个排列与一个组合的关键是:该问题是否与顺序有关,当取出元素后,若改变一下顺序,就得到一种新的取法,则是排列问题;若改变顺序,仍得原来的取法,就是组合问题.
(学生活动)倾听、思索、记录.
(教师活动)提出思考问题.
[投影] 与 的关系如何?
(师生活动)共同探讨.求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ,可分为以下两步:
第1步,先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为 ;
第2步,求每一个组合中 个元素的全排列数为 .
根据分步计数原理,得到
[字幕]公式1:
公式2:
(学生活动)验算 ,即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票.
设计意图:本着以认识概念为起点,以问题为主线,以培养能力为核心的宗旨,逐步展示知识的形成过程,使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去.
【例题示范 探求方法】
(教师活动)打出字幕,给出示范,指导训练.
[字幕]例1 列举从4个元素 中任取2个元素的所有组合.
例2 计算:(1) ;(2) .
(学生活动)板演、示范.
(教师活动)讲评并指出用两种方法计算例2的第2小题.
[字幕]例3 已知 ,求 的所有值.
(学生活动)思考分析.
解 首先,根据组合的定义,有
①
其次,由原不等式转化为
即
解得 ②
综合①、②,得 ,即
[点评]这是组合数公式的应用,关键是公式的选择.
设计意图:例题教学循序渐进,让学生巩固知识,强化公式的应用,从而培养学生的综合分析能力.
【反馈练习 学会应用】
(教师活动)给出练习,学生解答,教师点评.
[课堂练习]课本P99练习第2,5,6题.
[补充练习]
[字幕]1.计算:
2.已知 ,求 .
(学生活动)板演、解答.
设计意图:课堂教学体现以学生为本,让全体学生参与训练,深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用.
【点评矫正 交流提高】
(教师活动)依照学生的板演,给予指正并总结.
补充练习答案:
1.解:原式:
2.解:由题设得
整理化简得 ,
解之,得 或 (因 ,舍去),
所以 ,所求
[字幕]小结:
1.前一个公式主要用于计算具体的组合数,而后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证.
2.在解含组合数的方程或不等式时,一定要注意组合数的上、下标的限制条件.
(学生活动)交流讨论,总结记录.
设计意图:由“实践——认识——一实践”的认识论,教学时抓住“学习—一练习——反馈———小结”这些环节,使教学目标得以强化和落实.
(三)小结
(师生活动)共同小结.
本节主要内容有
1.组合概念.
2.组合数计算的两个公式.
(四)布置作业
1.课本作业:习题10 3第1(1)、(4)
www.nx899.com,3题.
2.思考题:某学习小组有8个同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛,要求每科均有1人参加,共有180种不同的选法,那么该小组中,男、女同学各有多少人?
3.研究性题:
在 的 边上除顶点 外有 5个点,在 边上有 4个点,由这些点(包括 )能组成多少个四边形?能组成多少个三角形?
(五)课后点评
在学习了排列知识的基础上,本节课引进了组合概念,并推导出组合数公式,同时调控进行训练,从而培养学生分析问题、解决问题的能力.
作业参考答案
2.解;设有男同学 人,则有女同学 人,依题意有 ,由此解得 或 或2.即男同学有5人或6人,女同学相应为3人或2人.
3.能组成 (注意不能用 点为顶点)个四边形, 个三角形.
探究活动
同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,那么四张不同的分配万式可有多少种?
解 设四人分别为甲、乙、丙、丁,可从多种角度来解.
解法一 可将拿贺卡的情况,按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类,即:
甲拿乙制作的贺卡时,则贺卡有3种分配方法.
甲拿丙制作的贺卡时,则贺卡有3种分配方法.
甲拿丁制作的贺卡时,则贺卡有3种分配方法.
由加法原理得,贺卡分配方法有3+3+3=9种.
解法二 可从利用排列数和组合数公式角度来考虑.这时还存在正向与逆向两种思考途径.
正向思考,即从满足题设条件出发,分步完成分配.先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张,有 种取法,剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张,也有 种,最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡,其取法只有互取对方制作贺卡1种取法.根据乘法原理,贺卡的分配方法有 (种).
逆向思考,即从4人取4张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法.不满足题设条件的取法为,其中只有1人取自己制作的贺卡,其中有2人取自己制作的贺卡,其中有3人取自己制作的贺卡(此时即为4人均拿自己制作的贺卡).其取法分别为 1.故符合题设要求的取法共有 (种).
说明(1)对一类元素不太多而利用排列或组合计算公式计算比较复杂,且容易重复遗漏计算的排列组合问题,常可采用直接分类后用加法原理进行计算,如本例采用解法一的做法.
(2)设集合 ,如果S中元素的一个排列 满足 ,则称该排列为S的一个错位排列.本例就属错位排列问题.如将S的所有错位排列数记为 ,则 有如下三个计算公式(李宇襄编著《组合数学》,北京师范大学出版社出版):
①
②
③
,组合
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