数学教学设计－切线的判定和性质

　　证明：连结EO并延长

　　　∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，

　　　∵AB∥CD，∴OE⊥CD．

　　　∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F

　　　∴EF为⊙O直径

　　强化训练：P109，1

　　3、求证：经过直径两端点的切线互相平行。

　　已知：AB为⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B

　　求证：MN∥CD

　　证明：∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径

　　　∴MN⊥AB

　　　∵CD切⊙O于B，B为半径外端

　　　∴CD⊥AB，

　　　∴MN∥CD．

　　（四）小结

　　1、知识：切线的性质：

　　(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）

　　(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）

　　(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）

　　(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）

　　(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）

　　2、能力和方法：

　　凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径．从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系．

　　（五）作业教材P109练习2；教材P116中7．

切线的判定和性质（三）

　　教学目标：

　　1、使学生学能灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；

　　2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律；

　　3、通过对切线的综合型例题分析和论证，激发学生的思维．

　　教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用．

　　教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程．

　　教学设计：

　　（一）复习与归纳

　　1、切线的判定

　　切线的判定方法有三种：

　　①直线与圆有唯一公共点；

　　②直线到圆心的距离等于该圆的半径；

　　③切线的判定定理．即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

　　2、切线的性质：

　　(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）

　　(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）

　　(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）

　　(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）

　　(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）

　　(二)灵活应用

　　例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．

　　证明：连结OD．

　　　∵OA=OD，∴∠1=∠2，

　　　∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4

　　　∴∠3=∠4

　　　在△OBC和△ODC中，

　　　OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，

　　　∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC．

　　　∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°．

　　　∴DC是⊙O的切线．

　　例2（P110例4）、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切．

　　证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F．

　　　∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB．

　　　又∵AB=CD，

　　　∴OF=OE，又OF⊥CD，

　　　∴CD与小圆O相切．

　　学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）；

　　（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系．

　　例3、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点

　　求证：CE=CF

　　证明：连结OE

　　　∵BE=BO∴∠3=∠B

　　　∵CE切⊙O于E

　　　∴OE⊥CE∠2+∠3=90°

　　　∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°

　　　∴∠2=∠4

　　　∵∠1=∠4∴∠1=∠2

　　　∴CE=CF

　　以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决．

　　巩固练习：P111练习1、2．

　　（三）小结：

　　1、知识：（指导学生归纳）切线的判定方法和切线的性质

　　2、能力：①灵活运用切线的判

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定方法和切线的性质证明问题；②作辅助线的能力和技巧．

　　（四）作业：教材P115，1（1）、2、3．

探究活动

　　问题：（北京西城区，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．

　　(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；

　　(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写做法，保留作固痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；

　　猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对称的猜想加以证明．

　　解：(1) 测量结果：

　　(2)图2中的测量结果：

　　图3中的测量结果：

　　猜想：

　　证明：

　　解：(1) 测量结果：∠CDP=45°．

　　(2)图2中的测量结果：∠CDP=45°．

　　图3中的测量结果：∠CDP=45°．

　　猜想：∠CDP=45°，不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化．

　　证明：连结OC．

　　　∵PC切⊙O于点C，

　　　∴PC⊥OC，

　　　 ∴∠1+∠CPO=90°，

　　　∵PC平分∠APC，

　　　∴∠2=1/2∠CPO．

　　　∵OA=OC

　　　∴∠A=∠3．

　　　∴∠1=∠A+∠3，

　　　∴∠A=1/2∠1．

　　　∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°．

　　　∴猜想正确．

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